Float_points
g– title: Float Points date: 2025-3-5 17:30:00 +0800 categories: [cs61c, Float Points] tags: [notebook] description: 介绍浮点数设计的原理 pin: false —
对于通常的32bits存储数据而言，有$2^{32}-1$个数可以存储，而不能做到涵盖更大的数字或者是小数，这就是浮点数存在要解决的问题
想到科学计数法，有一个尾数和一个指数作为信息传递，所以可以应用到浮点数上
IEEE754标准规定浮点数由
| 31 | 30-23 | 22-0 |
|---|---|---|
| S | Exponent | Significand |
| 1 bit | 8 bits | 23 bits |
但是这个范围有可能还是不够用，那么可以上双精度浮点数double
| 63 | 62-52 | 51-0 |
|---|---|---|
| S | Exponent | Significand |
| 1 bit | 11 bits | 52 bits |
现在给出计算实际值的浮点数转换方式，这里对指数位设置了偏差(bias)，这样就可以把指数位当作无符号数处理完减去偏差简化计算 \((-1)^S * (1 + Significand) * 2^{Exponent-127}\) 这是float的计算方式，如果是double的话就是以1023作为偏差
现在还有一些特殊值，如0、正负无穷等，现在来介绍这些特殊值
我们知道如果只是这样简单的设定，那么浮点数是不能涵盖很多数的，那么就会对这些特殊值有特殊的表示，总览大致如下
| Exponent | Significand | Object |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | nonzero | Denorm |
| 1-254 | anything | +/- fp |
| 255 | 0 | +/- $\infty$ |
| 255 | nonzero | NaN |
我们把一般的能直观表示的数称为规格数，即上表中的+/- fp，但显然这样的数字无法包括极小的值到0之间的间隔以及0，且面对溢出的情况无法表示，所以设置非规格数表示0以及0两边的间隔，用特殊数表示NaN以及无穷，而平常所说的数据范围一般是基于规格数而言的范围，即
化为十进制即为
\[[-3.4*10^{38}, -1.18*10^{-38}]∪[1.18*10^{-38}, 3.4*10^{38}]\]现在来详细说说非规格数存在的意义
非规格数存在的意义主要是为了解决突兀的间隔，即从0到最小规格数的间隔，取最小规格数来看是$2^{-126}$，那么若在不突兀的角度来看是什么样呢？恰如1的下一个数应该是2，这个最小规格数的下一位是$2^{-126}+2^{-149}$，这不合理，而造成这样现象的原因在于我们在规格数中存的尾数是默认加上1的，这就导致了这样的不连续性，所以我们将对其去规格化称为非规格数，即换一种算法进行计算实际值，即不默认加1，这时候非规格数的最小值就是$2^{-149}$，而显然它的下一个是$2^{-148}$，确实是最小非规格数的两倍，有连续性。
如果接着这个往后拓展，就是随着指数位的增加，有效值位的增加带来的实际值增加的“步幅”会每次乘2
在最后跨越规格数的最大值就来到了无穷，再往后就是很多的表示NaN的数，这就是浮点数表示的规则
关于浮点数的四舍五入： 跟传统的四舍五入有细微不同，浮点数的四舍五入不是单纯的处于中间值如2.5的时候就直接进一，而是向偶数舍入，即$2.5->3$且$3.5->4$
最后需要注意的是浮点数因为终究不能精确地表示所有的数据，所以有很多数据只是近似，而这种近似在做加减的时候很可能有截断误差，如一个极大的数加1有可能就会吞掉这个小数，所以有些说法问浮点数的加减是否具有结合性?那么就是错误的，因为计算顺序带来的误差不可忽略